仪器和测量技术中的DSP

　　概述
　　所谓信号处理是指对信号进行滤波、变换、分析、加工、提取特征参数等的过程。在电子仪器和测量中最典型的是用频谱分析仪对信号进行频谱分析从而了解和取得信号的频率(或频谱)特性。在现代计算机和相关的技术发展起来以前这一过程只能用以硬线技术构成的传统的频谱分析仪实现。众所周知这种传统的频谱分析仪无论在设计制造还是所采用的元器件方面都要求较高的水平。尤其是频率范围宽、指标高的设计制造的难度就更高而其价格也非常昂贵。但是自从计算机及随之而兴起的数字信号处理(即DSP〉技术日趋成熟和发展起来以后解决信号频谱分析的途径正在逐步由DSP所取代。

　　关于离散傅立叶变换和数字滤波
　　作为信号处理和频谱分析最直接相关的是傅立叶(Fourier）变换即FT。人们已经熟知离散傅立叶变换(即DFT）和数字滤波是DSP的基本内容。目前DFT已有许多实用有效的快速DFT算法即FFT算法和软件其性能主要决定于采样(实际上还包括模/数转换)率和CPU的运算速度。将任意信号(主要是反映客观物理世界的各种变化量而且多半是连续变化的模拟量)转换为能够由CPU处理的数字数据这一过程称为“数字化”它包括采样和量化两个步骤量化即通常所说的模/数转换。采样的速率和被处理的信号有关。为了保证数字化后的信号数据不丧失原信号的特性采样频率应大于或至少等于信号截止频率的2倍。这就是著名的奈奎斯特(Nyquist)采样定理或称奈奎斯特采样率。奈奎斯特采样定理是很容易证明的。至于CPU的运算速度众所周知现在的微机已达数百甚至上千兆赫的水平。为了提高或实现主要是FFT等运算的高速化美国得州仪器公司(IT)很早开始就一直致力于专用的DSP芯片的研制和生产。著名TMS320系列芯片已为科技界所熟知。据最近报道新的TMS320C64x的运行速度己高达600MHz其内核的8个功能单元能在每个周期同时执行4组16位MAC运算或8组8位MAC运算。单个C64x DSP芯片能同时完成一个信道的MPEG4视频编码、一个信道的MPEG4视频解码和一个MPEG2视频解码并仍有50%的余量留给多通道语音和数据编码、自然还有其他一些厂商也研制生产了不少品种专用或通用的DSP芯片。
　　在上一个世纪中电滤波器的发展经历了从无源到有源和从模拟到数字两个过程。高精度无源滤波器从设计到制造都是难度非常高的技术。有源滤波器虽然很大地改进了滤波器的性能也降低了一些制造工艺的难度但从其性能的大幅度改进与其它信号处理技术的结合实现的手段之便捷还是要数数字滤波器后来居上。当然这和EDA技术的发展也有关系。
　　数字滤波器是一种离散系统其特性或传递函数由以Z-变换为基础的差分方程描述。数字滤波器分两大类即IIR有限脉冲响应滤波器和FIR无限脉冲响应滤波器。前者又称为“递归式”滤波器后者又称为“非递归式”滤波器。人们可以根据对信号处理的要求确定描述系统的差分方程再根据差分方程设计出滤波器。滤波器的实现也有两种方式一种为纯软件方式即成为一个算法软件或软件包；另一种为硬件方式即设计成具体的硬线电路甚至制成专用或通用的芯片。关于数字滤波器的设计方法和成熟的软硬件产品都不难获得。这里不再详述。


　　信号的其它正交变换
　　已知傅立叶变换或傅立叶分析隐含这样的意义：
EP一个信号是由其FT所得频谱上各分量所代表的正

弦波合成的。在这个意义上我们把表示这些正弦波一组正交的正弦函数称为傅立叶变换的正交基函数(也可以用复函数的形式表示)。研究表明不仅正弦函数可以作为正交变换的基函数而是只要满足正交完备的函数系都可以作为基函数对信号进行正交变换分解分析(正弦函数自然是正交完备的函数系)。因此我们把这些变换笼统地称为“正交变换”。实用中最使人感兴趣的非正弦正交函数有雷德梅彻(Rademacher)函数、哈尔(Haar)函数和沃尔什(Wald)函数等。一段时期以来用得最多的当属沃尔什函数它是由沃尔什在1923年完备化的雷德梅彻函数。沃尔什函数是一组矩形波其取值为1和-1非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式即按列率排列或沃尔什排列、佩利 (Paley)排列和阿达玛(Hadamard)排列。这三种排列各有特点.而以阿达玛排列最便于快速计算。采用阿达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-阿达玛变换简称WHT或直称阿达玛变换。由于离散正交变换的运算常以矩阵乘法的方式完成而沃尔什-阿达玛函数组的矩阵形式只有1和-l两种元素同时这种阿达玛短阵的规律性非常强可以用简单的算法产生所以WHT的快速算法很容易实现。现在这种快速算法及其软件已经有很成熟的商品。当然在使用这种变换时我们必须记住它所得出的谱是以短形波为基础的。
　　另一种常用的正交变换是离散余弦变换DCT。已知傅立叶变换的基函数是正弦函数即其每一个分量是一个正弦波(或一个复向量)分量的次数决定该正弦波的频率而各个分量的相位则构成信号的相位谱。也就是说一个信号的傅立叶谱包括两部分一是幅度特性一是相位特性；或者作为复向量的实部余弦分量和作为虚部的正弦分量。换句话说仅仅幅度特性谱并不能完整地代表该信号而必须补克相位特性才是完整的。这当然既使表示和运算处理复杂化又使表示信号的数据量加大。经过研究表明如果将信号坐标的原点作适当的偏移就可以使变换后的结果只存在正弦波的正弦分量或余弦分量二者中的一个。这就是正弦变换或余弦变换。信号处理中的离散余弦变换DCT就是将信号坐标的原点左移半个采样间隔得到的。DCT具有很优良的信息特性.且有有效的快速算法所以在制定MPEG标准时将它定为图像压缩编码的标准变换。

　　这一节的最后顺便提一下离散K-L(KarhunenLover)变换。KLT通常被称为最佳变换因为采用KLT的滤波器和信息压缩编码失真最小。但由于KLT的变换基函数是不定的而且至今没有快速算法所以只在特殊需要的场合才使用。

　　关于小波分析
　　我们注意到上述所有这些变换或分析其对象都是平稳信号甚或周期信号。以傅立叶分析来说它的原始出发点是傅立叶级数其数学定义表示任一非正弦周期函数(信号)可以分解为元穷多个频率为其基本频率整倍数的正弦波(及一直流分量)之和。而对于傅立叶变换的积分则是将其积分周期拓展至无穷形成的。实际上频率这一概念正是傅立叶在此工作中提出来的。而且这种把一个事物从一个“域”变换到另一个“域”从而从新的角度或尺度对其进行分析或表示的这种分析方法在科学史上具有划时代意义的创造正是傅立叶提出来的。但是人们也早就发现像傅立叶变换之类的变换或分析工具只能用来处理确定性的平稳信号对于突变的非平稳信号则不能完成满意的分析；而且傅立叶分析得出的是信号的整体频谱却不能获得信号的局部特性。因此在20世纪80年代出现了加窗傅立叶变换。加窗傅立叶变换是一种局域化的时-频分析方法即将传统的傅立叶变换的时域(或空域)至频域的映射分析用加窗的方式结合起来对局部的时间段(或空间间隔)进行频域分析加窗傅立叶变换部分地解决了短时信号的分析问题。但它存在许多本质上的缺陷如对短时高频信号固然可以用缩小窗口宽度和采样间隔的办法适应频率的提高但窗口太窄会降低频率分辨率而且对低频分量也不适应。因此这就导致人们对新的变换(分析)方法的探求。小波(Wavelet)分析就是在这一背景下出现并很快得到应用和发展的。
　　现在简单介绍小波分析的概念。
　　设给定连续信号f(t)。考虑到实际信号的分辨率总是有限的从而可以将f(t)表示为以下阶梯函数



式中n为整数表示采样点Cn0=f(n)为样本值而



为其基函数或尺度函数。这时若将采样间隔加倍则样点数减半，而信号表示为



这样一来信号的数据量压缩了一半。这就是所谓二分法。考察二分前后两个信号的偏差



就是一个小波函数.
　　有人解释“小波”就是小的波形。而“小”指它具有衰减性，镀层测厚仪“波”则是指波动性即其振幅呈正负相同的振荡形式。
　　小波函数ψ(t)能通过平移和伸缩生成L2(R)中的一组正交基：

{（ψ（2-kt-n）kn为整数} 

从而可以将给定信号f(t)进行分解：



通常ψ(t)又称小波基函数。小波基函数可以有不同式前述哈尔函数就是一种常用的基函数。当然能够作为小波基函数的也还是它必须能展开成一组完备正交的函数系。
　　小波分析的发展非常迅速。虽然最早可以追溯到1900年希尔伯特(Hilbert)的论述和1910年哈尔提出的规范正交基但实际的主要工作还应该是1984年法国的Morlet在分析地震波的局部性质时因傅立叶变换难以达到要求因而引人小波概念。以后Grossman对Morlet的信号按一个确定函数的伸缩、平移系进行了研究为小波分析的形成开了先河。
　　在诸多为小波分析作出巨大贡献的科学工作者之中1987年Maliat发表的Mallat算法无疑对推动小波分析的发展起了非常重要的作用。自然在小波分析的发展中我国许多科技工作者也作出了大的贡献。
　　和前述其它分析变换一样小波变换也有连续和离散两种形式。但由于小波函数通常都是短形脉冲波因而离散处理相对比较容易从而有时人们忽略了其差别。
　　小波变换除了适应于处理突变(或时变)的非平稳信号外还具有一个非常有用的特性，即多分辨率特性。所谓多分辨率即在小波分析中由于所采用的尺度函数不同可以很容易地得到不同分辨率的结果。这在图像信号的处理中已得到实际的应用。
　　小波分析发展到现在已经取得许多成熟的成果包括一批通用的算法、软件以及固化的器件。例如AD公司推出的ADV611芯片作为视频图像的编/解码和压缩内含小波滤波器可以达到7500：1的压缩比图像质量良好。在仪器和测量的应用中也有许多成果如有人把它用在X-射线谱信号的分析中经过小波变换处理的谱线信号质量得到大幅度的提高。可以预计这种技术还将进一步发展得到更广泛的应用。

　　结束语
　　以上本文简单介绍了当前常见的信号处理特别是数字信号处理技术。但是它们基本上都只适于对确定性信号进行处理。在信号处理技术中还有一大类称为随机信号处理或统计信号处理。这一类处理技术最广泛地用于和噪声及信号污操作斗争也有人称为信号估计或信号复原最具代表性的两种技术就是维纳(Weiner)滤波和卡尔曼(Kalmark)滤波.前者又称为最小二乘方滤波后者从自噪声中恢复信号十分有效。其实它们都是很早就已经提出但只是在现代计算机和数字技术的发展下才得到真正实际的应用。因此我们最后简单地提及作为本文的结束。